期末の数学の最後の問題の解法と答（誰か添削してやってください

こういう問題を見たのはじめてだったから本当に解けてるのか自信がない。（でも破綻してる部分がないから多分あってると思う）

誰か数学の得意な方、添削してやってください。

問

${ \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt + \int_{0}^{1} (x + t)^2 f(t) dt = x^2 + \mathrm{C} }$

を満たす $f(x)$ と $\mathrm{C}$ を定めよ。

解答

与式より、

$\begin{eqnarray} & \int_{0}^{x} f(t) dt & + & \int_{0}^{1} (x^2 + 2xt + t^2) f(t) dt & = & x^2 + \mathrm{C} \\ \therefore & \int_{0}^{x} f(t) dt & + & x^2 \int_{0}^{1} f(t) dt + 2x \int_{0}^{1} t f(t) dt + \int_{0}^{1} t^2 f(t) dt & = & x^2 + \mathrm{C} \\ \therefore & \int_{0}^{x} f(t) dt & = & - x^2 \int_{0}^{1} f(t) dt - 2x \int_{0}^{1} t f(t) dt - \int_{0}^{1} t^2 f(t) dt & + & x^2 + \mathrm{C} \end{eqnarray}$

ここで、

$\begin{eqnarray} a & = & \int_{0}^{1} f(t) dt \\ b & = & \int_{0}^{1} t f(t) dt \\ c & = & \int_{0}^{1} t^2 f(t) dt \end{eqnarray}$

と置く。（ $a, b, c$ はそれぞれ定数）

両辺を $x$ について微分すると、

$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t) dt & = & \left\{ (1 - a) x^2 - 2bx - c + \mathrm{C} \right\}' \\ f(x) & = & 2 (1 - a) x - 2b \end{eqnarray}$

となり、これから、

$\begin{eqnarray} & a & = & \int_{0}^{1} \left\{ 2 (1 - a) t - 2b \right\} dt \\ & & = & \left[ (1 - a) t^2 - 2bt \right]_{0}^{1} \\ & & = & 1 - a - 2b \\ \therefore & 2a & = & 1 - 2b \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} & b & = & \int_{0}^{1} \left\{ 2 (1 - a) t^2 - 2bt \right\} dt \\ & & = & \left[ \frac{2}{3} (1 - a) t^3 - bt^2 \right]_{0}^{1} \\ & & = & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} a - b \\ \therefore & 2b & = & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} a \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} & c & = & \int_{0}^{1} \left\{ 2 (1 - a) t^3 - 2bt^2 \right\} dt \\ & & = & \left[ \frac{1}{2} (1 - a) t^4 - \frac{2}{3} bt^3 \right]_{0}^{1} \\ & & = & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} a - \frac{2}{3} b \end{eqnarray}$

これらを解くと、

$\begin{eqnarray} a & = & \frac{1}{4} \\ b & = & \frac{1}{4} \\ c & = & \frac{5}{24} \end{eqnarray}$

となるので、

${ \displaystyle f(x) = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} }$

次に、 $x = 0$ のとき、

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{0} f(t) dt + 0^2 a + 2 \times 0 b + c & = & 0^2 + \mathrm{C} \\ 0 + 0 + 0 + c & = & 0 + \mathrm{C} \\ c & = & \mathrm{C} \end{eqnarray}$